La hipérbola

La Hipérbola

La hipérbola como lugar geométrico

En el apartado Secciones cónicas hemos visto que la hipérbola está formada por el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, y que llamaremos F y F', es constante. Es decir

P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF-PF' es constante

P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF'-PF es constante

Estas dos condiciones se pueden resumir en una: P es un punto de la hipérbola si y sólo si |PF-PF'| es una cantidad constante.

 

La hipérbola tiene dos ramas: la rama de la derecha cumple que PF'-PF es constante, y la rama de izquierda cumple que PF-PF' es constante

Los elementos fundamentales de la hipérbola

• Focos: son los puntos fijos F y F'
• Radio vectores de un punto P: son los segmentos PF y PF'
• Distancia focal: es la distancia entre los focos F y F'
• Eje focal: es la recta que pasa por los focos. La mediatriz del segmento FF' recibe el nombre de eje imaginario o eje secundario. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos que vamos a llamar vértices de la hipérbola; los designaremos mediante las letras A y A'. El punto de corte de ambos ejes recibe el nombre de centro de la hipérbola. Observa que la hipérbola es simétrica respecto al eje focal y respecto al eje imaginario, así como respecto a su centro.

Relación entre los elementos de la hipérbola

Sabemos que todo punto de la hipérbola cumple que la diferencia de distancias a los focos es constante. Vamos a llamar a dicha constante k.

Entonces tendremos:

• Como A es un punto de la hipérbola (rama derecha): AF'-AF = k ==> F'A' + A'A - AF = k
• Como A' es un punto de la hipérbola (rama izquierda): A'F-A'F' = k ==> A'A + AF - A'F' = k 

Sumando término a término, obtenemos: F'A' + A'A - AF +AA' + AF - A'F' = 2K ==> 2 AA' = 2k ==>AA' = k

Si llamamos "a" a la distancia desde el vértice A al centro de la hipérbola (ó desde A' al centro), entonces AA' = 2a = k

De esta forma llegamos a la conclusión de que k=2a. Es decir: |PF - PF'| =2a siendo "a" la distancia desde A (ó A') al centro de la hipérbola.

• Como OF = OF', si hacemos OF = OF' = c, entonces la distancia focal será: FF' = 2c

En todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos. En el triángulo PFF', se tendrá que FF' > PF' - PF ==> 2c > 2a ==> c > a

Como c > a ==> c² > a² ==> c² - a² > 0

Por ser este número positivo se le puede llamar b² ==> c² - a² = b². Más adelante le daremos un significado a este número b.

Excentricidad de la hipérbola

Se define la excentricidad de le hipérbola de la siguiente forma: e = c/a. Como a < c, se tendrá que e > 1, para la hipérbola . Podemos entonces concluir que la hipérbola es una cónica cuya excentricidad es mayor que 1.

Comparando hipérbolas según su excentricidad

Al dibujar en los mismos ejes, hipérbolas con diferentes excentricidades, siendo a = 5, obtenemos los siguientes gráficos

Se observa entonces el efecto que tiene sobre las hipérbolas el aumento de la excentricidad: cuando más pequeña es la excentricidad, más se cierran las ramas. Si forzamos el razonamiento, una hipérbola de excentricidad 1, se correspondería con dos semirrectas rectas horizontales con origen respectivos en 5 y -5. Al hacer que la excentricidad (e) aumente, las ramas de la hipérbola se abren sobre los ejes. Para e tendiendo a +inf, la hipérbola se corresponderían con dos rectas verticales.

Tangente y normal en un punto de la hipérbola

Dos propiedades importantes de la tangente y normal a una hipérbola en un punto P

La bisectriz de la rectas que contienen a los radio-vectores de P, en una hipérbola, es tangente a la hipérbola

Hemos de demostrar que la bisectriz del ángulo F'PF es tangente a la hipérbola (Figura 1)

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Sean s y r las rectas que contienen a los radio vectores del punto P. Sea Q un punto de r, tal que PF = PQ (Figura 2). Sea t la bisectriz del ángulo FPF´. Por construcción t debe ser la mediatriz del segmento FQ.

Demostraremos que t es tangente a la hipérbola. Para ello, tomamos otro punto cualquiera de t, que llamamos por ejemplo P', y demostraremos que P' no está en la hipérbola.

• Como P' está en t, será P'Q = P'F
• Como P está en la hipérbola PF - PF' = 2a. Luego PF - PF' = PQ - PF' = F'Q = 2a

Por otro lado P'F - P'F' = P'Q - P'F' < F'Q = 2a, ya que en el triángulo P'F'Q la diferencia entre las longitudes de dos lados es menor que el tercero (propiedad que se cumple en cualquier triángulo)

Inversamente: la tangente a una hipérbola en un punto P de la misma, es la bisectriz de las rectas que contienen a los radio vectores del punto P

En la Figura 4, t es la tangente a la hipérbola en P, y Q es el simétrico de F respecto a t.

Figura 4

Demostraremos en primer lugar que los puntos P, F' y Q están alienados. Como P es un punto de la hipérbola, y Q es simétrico de F respecto a t, tendremos: PF - PF' = PQ - PF' = F'Q = 2a. Si P.F' y Q no estuvieran alineados formarían un triángulo, en cuyo caso F'Q < 2a (un lado es menor que la diferencia de los otros dos), lo que es imposible.

Como P, F' y Q están alineados, t es la mediatriz de QF, y por tanto la bisectriz del ángulo QPF

La normal en P es la bisectriz del ángulo que forma un radio vector con la prolongación del otro

La normal a una curva en un punto es la perpendicular al punto en el punto de tangencia. La recta n es la normal a la hipérbola en P (Figura 5).

Figura 5

Figura 6

Queremos demostrar que la recta n es la bisectriz del ángulo FPA. Teniendo en cuenta que t es la bisectriz del ángulo FPF' y que n es perpendicular a t, se puede concluir inmediatamente que los ángulos FPn y nPA son iguales entre sí, ya que cada uno de ellos mide 90-a, y queda demostrado lo que queríamos.

¿De qué forma podemos usar esta propiedad de la hipérbola?

Supongamos que un fotógrafo necesita una pantalla que disperse la luz uniformemente. ¿Qué forma ha de darle a la pantalla? ¿Dónde debe colocar la bombilla?

La solución al problema se obtiene estudiando la dirección que seguiría un rayo (de luz o sónico), que partiendo de un foco, se refleje en la hipérbola. Según acabamos de ver, la tangente es la bisectriz del ángulo que forma un radio vector, con la prolongación de otro. Luego si el ángulo de incidencia ha de ser igual al ángulo de reflexión (al reflejarse en la curva, es decir, al reflejarse en la tangente en P), al salir un rayo de F y tocar en P, se reflejará según la dirección de F'P (Figura 7).

Figura 7

Figura 8

La Figura 8, muestra un conjunto de rayos que se dispersan de manera homogénea al reflejarse en la hipérbola.

Asíntotas de la hipérbola

Con la idea de sólo usar métodos geométricos en el análisis de estas curvas, me encuentro con el problema de explicar qué son las asíntotas de una hipérbola, y qué significado tienen. Observa la Figura 10. El el punto P se ha dibujado la tangente a la hipérbola. Al hacer que P se aleje sobre la hipérbola, la tangente va disminuyendo su inclinación (ángulo que forma la recta con la horizontal), de manera que tiende a una posición límite (Figura 9), que coincide con una generatriz, y que pasa por el centro de la hipérbola.

Figura 9

Figura 10

De esta forma, la asíntota tendría la siguiente posición respecto a la hipérbola:

Colocando todos los elementos sobre el gráfico nos encontramos entonces con:

Los hiperboloides

Al hacer girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes, obtenemos una figura llamada hiperboloide.

Giro alrededor de su eje focal                                    

Se obtiene entonces un hiperboloide de dos hojas.

Giro alrededor de su eje imaginario

Cuando el hiperboloide gira alrededor del eje imaginario se obtiene un hiperboloide de una sola hoja.