La elipse es el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
Elementos de la elipse
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los
focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c, c es
el valor de la semidistancia focal.
Vértices
Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A,
A', B y B'.
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a, a es
el valor del semieje mayor.
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b, b es
el valor del semieje menor.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
Excentricidad de la elipse
La excentricidad es un número
que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente
entre su semidistancia focal y su semieje mayor
Ecuaciones de la elipse
Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y
los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos
son:
F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ecuación reducida de eje vertical de la elipse.
Si el eje principal está en el de ordenadas se
obtendrá la siguiente ecuación:
Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(o, c)
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.
Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y
el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c,
y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la
elipse será:
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en
general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo.
Ecuación de eje vertical de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:
En el apartado Secciones cónicas hemos visto que la
hipérbola está formada por el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, y que llamaremos F y
F', es constante. Es decir
P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF-PF' es constante
P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF'-PF es
constante
Estas dos condiciones se pueden resumir en una: P es un
punto de la hipérbola si y sólo si |PF-PF'| es una cantidad constante.
La hipérbola tiene dos ramas: la rama de la derecha cumple
que PF'-PF es constante, y la rama de izquierda cumple que PF-PF' es constante
Los elementos fundamentales de la hipérbola
Focos:
son los puntos fijos F y F'
Radio
vectores de un punto P: son los segmentos PF y PF'
Distancia
focal: es la distancia entre los focos F y F'
Eje
focal: es la recta que pasa por los focos. La mediatriz del segmento
FF' recibe el nombre de eje imaginario o eje secundario. El eje focal
corta a la hipérbola en dos puntos que vamos a llamar vértices de
la hipérbola; los designaremos mediante las letras A y A'. El punto de
corte de ambos ejes recibe el nombre de centro de la hipérbola.
Observa que la hipérbola es simétrica respecto al eje focal y respecto al
eje imaginario, así como respecto a su centro.
Relación entre los elementos de la hipérbola
Sabemos que todo punto de la hipérbola cumple que la
diferencia de distancias a los focos es constante. Vamos a llamar a dicha
constante k.
Entonces tendremos:
Como
A es un punto de la hipérbola (rama derecha): AF'-AF = k ==> F'A'
+ A'A - AF = k
Como
A' es un punto de la hipérbola (rama izquierda): A'F-A'F' = k ==> A'A
+ AF - A'F' = k
Sumando término a término, obtenemos: F'A' + A'A - AF +AA' +
AF - A'F' = 2K ==> 2 AA' = 2k ==>AA' = k
Si llamamos "a" a la distancia desde el vértice A
al centro de la hipérbola (ó desde A' al centro), entonces AA' = 2a = k
De esta forma llegamos a la conclusión de que k=2a. Es decir: |PF - PF'| =2a
siendo "a" la distancia desde A (ó A') al centro de la hipérbola.
Como
OF = OF', si hacemos OF = OF' = c, entonces la distancia focal será: FF' =
2c
En todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los
otros dos. En el triángulo PFF', se tendrá que FF' > PF' - PF ==> 2c
> 2a ==> c > a
Como c > a ==> c2 > a2==> c2 -
a2 > 0
Por ser este número positivo se le puede llamar b2==> c2 -
a2 = b2. Más adelante le daremos un significado a
este número b.
Excentricidad de la hipérbola
Se define la excentricidad de le hipérbola de la siguiente
forma: e = c/a. Como a < c, se tendrá que e > 1, para la hipérbola .
Podemos entonces concluir que la hipérbola es una cónica cuya excentricidad es
mayor que 1.
Comparando hipérbolas según su excentricidad
Al dibujar en los mismos ejes, hipérbolas con diferentes
excentricidades, siendo a = 5, obtenemos los siguientes gráficos
Se observa entonces el efecto que tiene sobre las hipérbolas
el aumento de la excentricidad: cuando más pequeña es la excentricidad, más se
cierran las ramas. Si forzamos el razonamiento, una hipérbola de excentricidad
1, se correspondería con dos semirrectas rectas horizontales con origen
respectivos en 5 y -5. Al hacer que la excentricidad (e) aumente, las ramas de
la hipérbola se abren sobre los ejes. Para e tendiendo a +inf, la hipérbola se
corresponderían con dos rectas verticales.
Tangente y normal en un punto de la hipérbola
Dos propiedades importantes de la tangente y normal a una
hipérbola en un punto P
La bisectriz de la rectas que contienen a los
radio-vectores de P, en una hipérbola, es tangente a la hipérbola
Hemos de demostrar que la bisectriz del ángulo
F'PF es tangente a la hipérbola (Figura 1)
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Sean s y r las rectas que contienen a los radio vectores del
punto P. Sea Q un punto de r, tal que PF = PQ (Figura 2). Sea t la bisectriz
del ángulo FPF´. Por construcción t debe ser la mediatriz del segmento FQ.
Demostraremos que t es tangente a la hipérbola. Para ello,
tomamos otro punto cualquiera de t, que llamamos por ejemplo P', y
demostraremos que P' no está en la hipérbola.
Como
P' está en t, será P'Q = P'F
Como
P está en la hipérbola PF - PF' = 2a. Luego PF - PF' = PQ - PF' = F'Q = 2a
Por otro lado P'F - P'F' = P'Q - P'F' < F'Q = 2a, ya que
en el triángulo P'F'Q la diferencia entre las longitudes de dos lados es menor
que el tercero (propiedad que se cumple en cualquier triángulo)
Inversamente: la tangente a una hipérbola en un punto P
de la misma, es la bisectriz de las rectas que contienen a los radio vectores
del punto P
En la Figura 4, t es la tangente a la hipérbola
en P, y Q es el simétrico de F respecto a t.
Figura 4
Demostraremos en primer lugar que los puntos P, F' y Q están
alienados. Como P es un punto de la hipérbola, y Q es simétrico de F respecto a
t, tendremos: PF - PF' = PQ - PF' = F'Q = 2a. Si P.F' y Q no estuvieran
alineados formarían un triángulo, en cuyo caso F'Q < 2a (un lado es menor
que la diferencia de los otros dos), lo que es imposible.
Como P, F' y Q están alineados, t es la mediatriz de QF, y
por tanto la bisectriz del ángulo QPF
La normal en P es la bisectriz del ángulo que forma un
radio vector con la prolongación del otro
La normal a una curva en un punto es la
perpendicular al punto en el punto de tangencia. La recta n es la normal a la
hipérbola en P (Figura 5).
Figura 5
Figura 6
Queremos demostrar que la recta n es la bisectriz del ángulo
FPA. Teniendo en cuenta que t es la bisectriz del ángulo FPF' y que n es
perpendicular a t, se puede concluir inmediatamente que los ángulos FPn y nPA
son iguales entre sí, ya que cada uno de ellos mide 90-a, y queda demostrado lo
que queríamos.
¿De qué forma podemos usar esta propiedad de la
hipérbola?
Supongamos que un fotógrafo necesita una pantalla que
disperse la luz uniformemente. ¿Qué forma ha de darle a la pantalla? ¿Dónde
debe colocar la bombilla?
La solución al problema se obtiene estudiando la
dirección que seguiría un rayo (de luz o sónico), que partiendo de un foco, se
refleje en la hipérbola. Según acabamos de ver, la tangente es la bisectriz del
ángulo que forma un radio vector, con la prolongación de otro. Luego si el
ángulo de incidencia ha de ser igual al ángulo de reflexión (al reflejarse en
la curva, es decir, al reflejarse en la tangente en P), al salir un rayo de F y
tocar en P, se reflejará según la dirección de F'P (Figura 7).
Figura 7
Figura 8
La Figura 8, muestra un conjunto de rayos que se dispersan
de manera homogénea al reflejarse en la hipérbola.
Asíntotas de la hipérbola
Con la idea de sólo usar métodos geométricos en
el análisis de estas curvas, me encuentro con el problema de explicar qué son
las asíntotas de una hipérbola, y qué significado tienen. Observa la Figura 10.
El el punto P se ha dibujado la tangente a la hipérbola. Al hacer que P se
aleje sobre la hipérbola, la tangente va disminuyendo su inclinación (ángulo
que forma la recta con la horizontal), de manera que tiende a una posición
límite (Figura 9), que coincide con una generatriz, y que pasa por el centro de
la hipérbola.
Figura 9
Figura 10
De
esta forma, la asíntota tendría la siguiente posición respecto a la hipérbola:
Colocando
todos los elementos sobre el gráfico nos encontramos entonces con:
Los hiperboloides
Al hacer girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes,
obtenemos una figura llamada hiperboloide.
Giro alrededor de su
eje focal
Se obtiene entonces un hiperboloide de
dos hojas.
Giro alrededor de su eje imaginario
Cuando el hiperboloide gira alrededor del eje
imaginario se obtiene un hiperboloide de una sola hoja.
de longitud 2c, c es
el valor de la semidistancia focal.
de longitud 2a, a es
el valor del semieje mayor.
de longitud 2b, b es
el valor del semieje menor.
, hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.
